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Exemplo 1: Calculando √121
Tomando o valor inicial 9 como possível raiz temos:
9²=9·9=81
Como o quadrado do valor inicial é menor que o radicando, isto é 81<121 temos que utilizar o método de Júlia somando o número e seu sucessor em cada processo:
81 + 9 + 10 = 100 (processo 1)
100 + 10 + 11 = 121 (processo 2)
Como último número somado para determinar o número 121 foi 11 logo √121 = 11.
Exemplo 2: Calculando √361
Tomando o valor inicial 14 como possível raiz temos:
14²=14·14=196
Como o quadrado do valor inicial é menor que o radicando, isto é 196<361 temos que utilizar o método de Júlia somando o número e seu sucessor em cada processo:
196 + 14 + 15 = 225 (processo 1)
225 + 15 + 16 = 256 (processo 2)
256 + 16 + 17 = 289 (processor 3)
289 + 17 + 18 = 324 (processo 4)
324 + 18 + 19 = 361 (processo 5)
Como último número somado para determinar o número 361 foi 19, logo √361 = 19.
Exemplo 3: Calculando √169
Tomando o valor inicial 17 como possível raiz temos:
17²=17·17=289
Como o quadrado do valor inicial é maior que o radicando, isto é 289>169 temos que utilizar o método de Júlia subtrair o número e seu antecessor em cada processo:
289 – 17 – 16 = 256 (processo 1)
256 – 16 – 15 = 225 (processo 2)
225 – 15 – 14 = 196 (processor 3)
196 – 14 – 13 = 169 (processo 4)
Como último número subtraído para determinar o número 169 foi 13, logo √169 = 13.
Exemplo 4: Calculando √400
Tomando o valor inicial 26 como possível raiz temos:
26²=26·26=676
Como o quadrado do valor inicial é maior que o radicando, isto é 676>400 temos que utilizar o método de Júlia subtrair o número e seu antecessor em cada processo:
676 – 26 – 25 = 625 (processo 1)
625 – 25 – 24 = 576 (processo 2)
576 – 24 – 23 = 529 (processor 3)
529 – 23 – 22 = 484 (processo 4)
484 – 22 – 21 = 441 (processo 5)
441 – 21 – 20 = 400 (processo 6)
Como último número subtraído para determinar o número 400 foi 20, logo √400 = 20.
²²Calculando-se √L tomando w como como possível raiz o produto inicial será w·w=w², assim temos três hipóteses diferentes:
Hipótese 1: w²=L, logo √L=w
Hipótese 2: w²<L
Processo 1
w²+(w)+(w+1)
w²+2w+1
(w+1)²
Foi somado ao quadrado do valor inicial w² o termo 2w+1.
Processo 2
(w+1)²+(w+1)+(w+2)
w²+2w+1+2w+3
w²+4w+4
(w+2)²
Foi somado ao termo anterior o termo 2w+3.
Processo 3
(w+2)²+(w+2)+(w+3)
w²+4w+4+2w+5
w²+6w+9
(w+3)²
Foi somado ao termo anterior o termo 2w+5.
Processo 4
(w+3)²+(w+3)+(w+4)
w²+6w+9+2w+7
w²+8w+16
(w+4)²
Foi somado ao termo anterior o termo 2w+7.
Processo 5
(w+4)²+(w+4)+(w+5)
w²+8w+16+2w+9
w²+10w+25
(w+5)²
Analisando os termos somados, eles formam uma Progressão Aritmética (2w+1 ,2w+3 ,2w+5 ,2w+7 ,….) de razão 2, primeiro termo 2w+1, como o produto inicial é w², temos que o termo é dado através de sua soma com a soma de termos da Progressão dada, assim temos:
Pela forma geral da sequência dada temos:
Somando o produto inicial w² com a soma de n termos da sequência temos:
Como mostrado anteriormente a cada processo feito, temos o quadrado de um sucessor de w e consequentemente um sucessor de w é igual a √L, neste fator final podemos definir que w é o número escolhido para o produto inicial e n o numero de processos utilizados. Caso o produto inicial seja maior que o radicando, o processo é análogo que é a terceira hipótese.