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Tomando a solução de √L, temos:
1ª forma: O produto inicial é maior que o radicando, logo d>0.
Fórmula 1
2ª forma: O produto é menor que o radicando, logo d<0.
Fórmula 2
Seja L com L∈N o radicando da raiz quadrada desejada, d com d∈N a diferença entre o produto inicial e o radicando L e k com k∈N uma constante natural. Podemos demonstrar por absurdo que k é um divisor de d:
Supondo por absurdo que k não é divisor de d, como √L∈N temos que:
Como √L∈N e k∈N, podemos afirmar que (2√L-k)∈N assim temos um absurdo, pois pela hipótese k não é divisor de d e concluímos que k é um divisor de d.